正規分布 偏差値 横断面分析 時系列分析 複数の変数の関係性を見る

偏差値

 例えば、数学のテストで58点、国語のテストで65点取ったとします。そのときどちらのテストの方がいい成績であるかは、テストによって平均点や点数の散らばりに違いがあるため、単純には比較できません。ところが、それぞれの偏差値を求めることで、この比較ができるようになります。
 偏差値は、テストの成績の分布が正規分布であると仮定して、測定値の平均と標準偏差を用いて、平均が50、標準偏差が10になるように変換して求める値です。
 偏差値は次のような式で求められます。

偏差値の式

 まず、自分の得点と平均値との差を標準偏差で割って、平均が0、標準偏差が1になるようにします。これを標準化といいます。さらに、この標準化した値を10倍して、50に加えることにより、平均が50、標準偏差が10の値が得られます。この値が偏差値です。
 例えば、数学のテストの平均が42点、標準偏差が8点だったとしましょう。このテストであなたの得点が58点だとすると、あなたの偏差値は次のように求めることができます。

偏差値の式

 また、国語のテストの平均が47点、標準偏差が12点だったとしましょう。このテストであなたの得点が65点だとすると、あなたの偏差値は次のように求めることができます。

偏差値の式

 単純に点数を比較した場合、国語の方がいい成績のように見えますが、偏差値をみると、実は、数学の方がいい成績だということが分かります。
 次に、偏差値が70であるということの意味を考えてみましょう。偏差値70はμ+2σに相当しますから、テストの得点の分布が正規分布と仮定すれば、「図 正規分布の性質」を活用でき、

0.0014+0.0214=0.0228≒0.023

となります。つまり、偏差値が70の場合、集団の中で上から約2.3%のところに位置していることが分かります。

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