正規分布 偏差値 横断面分析 時系列分析 複数の変数の関係性を見る

正規分布

正規分布グラフ

 テストの成績は通常、平均点の近くの人数が一番多く、0点や100点に近づくほど人数が少なくなり、得点の分布は左右対称の釣鐘型になることが多いと言われます。このような分布の型を「正規分布」と言います。全国の高校生の身長や体重の分布など、多くの分布の型は正規分布であることが知られていますが、正規分布のグラフは中央が一番高く、両側に向かってだんだん低くなっていき、左右対称の釣鐘型をしていますが、正規分布の場合、この中央の一番高い位置に平均値がきます。

 下図は2つの正規分布曲線を表わしています。2つのグラフはどちらも平均値が0の正規分布曲線ですが、左の正規分布曲線の分散は、右の図の分散に比べて小さい値になっています。正規分布は、平均値と分散が決まると式やグラフも1つに決まります。

いろいろな正規分布曲線

 また、分散や平均値がどんな値でも、正規分布は次の性質をもっています。

正規分布の性質

 この性質をグラフ上に表したのが次の図です

図 正規分布の性質

図 正規分布の性質

 統計データが正規分布となっている場合、平均値と標準偏差が分かれば、値が全体の中でどこに位置するのかがほぼ正確に分かります。

コーヒーブレイク

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変わった正規分布の使いみち その1

 フランスの数学者、ジュール・アンリ・ポアンカレ(1854-1912)は、毎日パンをひとかたまり買うことを習慣にしており、その重さは1kgといわれていました。彼は一年間、買ったパンの重さを計り続けたところ、パンの重さが950グラムを平均とする正規分布となることがわかりました。つまり、平均して50グラム少なかったわけです。
 この事実を警察に訴えると、警察はパン屋に警告を与えました。彼は、その後もまた1年間のパンの重さを計ったところ、一番頻度が多かったのは950グラムでしたが、今度の分布は左右対称ではありませんでした。分布の右半分(重い方)の裾は前と同じでしたが、左側(軽い方)の裾は短かったのです。つまり、パン屋はやり方を変えずに、また苦情を言われないよう、いつも手元のある大きめパンを彼に売っていたことをデータから見抜いたのです。パン屋はこの事実をポアンカレが見抜いたことに驚いたそうです。
 正規分布を元にした考え方は、現在においても、商品の不良品を少なくするために、工場における商品管理などで使用されることがあります。

■参考文献
確率・統計で世界を読む (白揚社)、バート・K. ホランド(著), Bart K. Holland (原著), 林大 (翻訳)

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